Для чего контракт составляется в двух экземплярах?

Один экземпляр контракта хранится в личном деле военнослужащего, второй — у него на руках.

Существуют ли отличия контракта для офицеров, прапорщиков (мичманов), сержантов (старшин) и солдат (матросов)?

Нет, форма контракта едина для всех военнослужащих.

В каких случаях заключается новый контракт?

Военнослужащий может заключить новый контракт после окончания действующего по своему желанию.

Могут ли военнослужащему отказать в заключении нового контракта?

Нет, не могут, за исключением случаев, когда военнослужащий подлежит увольнению по возрасту или состоянию здоровья.